Paulius Ašmontas gimė 2001 m. rugsėjo 9 d. Klaipėdoje. Mokosi Kauno P. Daunio ugdymo centre. 2018 m. baigė Kauno 1-ąją muzikos mokyklą, klarneto specialybę. Plaukimo treniruotes pradėjo lankyti 2013 m. Atstovauja sporto mokyklai „Startas“, aklųjų ir silpnaregių klubui „Sveikata“. 2017 m. atstovavo Lietuvai Europos neįgalaus jaunimo žaidynėse. 2018 m. debiutavo suaugusiųjų varžybose ir atstovavo Lietuvai Europos neįgaliųjų plaukimo čempionate Dubline.